Photopea（フォトピー）は一度ブラウザで読み込めば、オフラインで使用することができるので、インターネット接続が切れても大丈夫です。
公式サイトに（英語ですが）明記されています。
Photopeaは、SketchやPhotoshopのように、あなたのデバイス内で完全に動作します。あなたのファイルがインターネットにアップロードされることはありません。
Photopea.comを読み込み、インターネットから切断すれば、完全にオフラインで使い続けることができます。あなたのファイルがあなたのコンピュータから離れることはありません。
出典：Photopea – Introduction（英語）
また、Redditにも開発者による同様のコメントがあります。
Photopeaはクライアント側で完全に動作するので、サーバー側で計算する必要がありません。Photopea.comが一度ロードされれば、それ以降はサーバーとの通信は必要なく、インターネットから切断してオフラインで利用することが可能です。
出典：月利用者150万人以上の無料画像編集ツール「Photopea」の開発者が「質問ある？」に降臨 – GIGAZINE
まとめ
Photopeaは一度読み込まれれば、オフラインで動作するので、作業中にインターネット通信が切れてしまっても問題ありません。
そのため、ネット環境が不安定でも安心してPhotopeaを利用することができます。
自分の画像がPhotopeaのサーバーなどにアップロードされる心配もありません。
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ただし、ブラウザを閉じてしまうと、Photopeaを再び読み込む必要が生じるので注意してください。